Optimální rozměry jednovrstvových cívek

Inž. Věra Šanderová

Obsah

Úvod
1. Jakost cívky
2. Indukčnost cívky
3. Vysokofrekvenční odpor cívky
4. Podmínka pro maximální jakost v závislosti na x
5. Závislost jakosti na p/d
6. Určení indukčnosti L při optimálních podmínkách - stručný výsledek složitého odvození, nomogram a skript na výpočet
7. Praktický příklad

Úvod

Při řešení různých elektrických obvodů s jednovrstvovými válcovými cívkami, a to hlavně obvodů pro VKV a koncové stupně vysílačů, objeví se často požadavek, jak získat při dané geometrické velikosti cívku s maximálním činitelem jakosti. Této podmínky může být dosaženo určitou vhodnou volbou rozměru a tvaru cívky.
V této práci je naznačen postup, jak byly odvozeny požadované vztahy a zároveň je připojen diagram, jehož pomocí můžeme s chybou nejvýše desetiprocentní stanovit, jaké rozměry má mít jednovrstvová válcová cívka s určitou danou hodnotou indukčnosti, aby měla co nejvyšší jakost.

1. Jakost cívky

Protéká-li cívkou, zapojenou v oscilačním obvodu, střídavý proud, pak cívka, představující indukčnost, vykazuje vždy podle své jakosti jisté ztráty, které se projevují zmenšením amplitudy proudu nebo napětí obvodu vzhledem k obvodu bezztrátovému. Tím se zhorší jakost cívky a tím i celého oscilačního obvodu.
Je výhodné představit si náhradní schéma každé cívky tak, že v sérii s bezztrátovou cívkou je zapojen odpor, kterým se realisuje vliv ztrátových činitelů. Je definován jako poměr součtu všech ztrát a čtverce proudu za rezonance.
Když neuvažujeme to, že jednotlivé závity cívky mezi sebou tvoří kondenzátory, jejichž účinek se kombinuje, takže mezi konci vf cívky je vždy přítomna i určitá kapacita, budou celkové ztráty prakticky tyto:
  1. ztráty vyzářením do okolí, je-li vlnová délka srovnatelná s rozměry cívky,
  2. ztráty v magnetickém poli cívky, to znamená ve všech magnetických materiálech, jako je například jádro cívky,
  3. ztráty v elektrickém poli cívky, to znamená v blízkých dielektrikách (kostra cívky, izolace drátu) a vodičích (kostra přístroje),
  4. ztráty přímo ve vodiči, jímž je cívka navinuta (povrchový jev - skinefekt, proximityefekt).
Uvažujeme-li tedy vzdušnou cívku, vinutou neizolovaným drátem, uplatňují se převážně pouze ztráty čtvrtého druhu. Při všech kmitočtech se totiž objevuje povrchový jev resp. proximityefekt, to znamená, že většina proudu teče povrchem vodiče. Tím se jakoby zmenší průřez drátu a zvětší jeho odpor. Uvažujeme-li, že tento odpor je zapojen v sérii s bezztrátovou cívkou, je jakost definována výrazem

Q = 2π f L/R              (1)
Abychom mohli určit jakost cívky, musíme tedy znát její indukčnost L, odpor R a kmitočet f střídavého proudu.

Rozměry cívky

2. Indukčnost cívky

Indukčnost je dána výrazem
L = μ π n2D2 K(x) / (4a) [H]            (2)

kde μ = 4 π.10-7 [H/m] je magnetická permeabilita neferromagnetických látek,
n je celkový počet závitů cívky,
D [m] je průměr cívky,
a [m] je délka cívky,

x = D / a

Pro délku l drátu, kterým je vytvořena válcová cívka, platí přibližně

l = π D n = π D a / p  [m]            (3)

kde p [m] je rozteč.*)
Z výrazu (3) si postupně vypočítáme veličiny:
 
a = √(( p l ) / (π x) )

D = √((p l x) / π)

n = √(l / ( p π x ))            (4)

jež dosadíme do výrazu (2) a dostaneme nový vztah pro indukčnost vzdušné cívky:

L = l √( π l / p) √x K (x) .10-7 [H]            (5)

Tento vzorec je založen na Nagaokově opravě pro cívky určité délky, vinuté páskem s nekonečně malou mezerou mezi závity. Cívky však jsou obvykle vinuty obyčejným drátem s konečnou mezerou mezi závity. Tato odchylka vinutí způsobuje, že vypočítaná indukčnost se poněkud liší od skutečné.
 

3. Vysokofrekvenční odpor cívky

Další hodnotou, kterou musíme znát k určení jakosti cívky, je její odpor. Kdybychom počítali odpor drátu, jímž je cívka vinuta, tak, že bychom si představili, že proud teče dlouhým přímým válcovým vodičem, pak by se uplatnil tak zvaný povrchový jev. Již v první kapitole bylo uvedeno, že tento jev se objevuje při všech kmitočtech. Znamená to, že většina proudu teče povrchem vodiče, přibližně podle obrázku.
povrchový jev

V cívce však teče proud ještě menší částí průřezu vodiče, než se počítá v teorii povrchového jevu. Uplatňuje se totiž vliv blízkosti závitů, čili tak zvaný proximityefekt. Vlivem malé vzdálenosti mezi závity je proud vytlačován nejen na okraj drátu, ale celé cívky. Schématicky si to můžeme znázornit asi takto.
proximityefekt

V obou případech však můžeme říci, že odpor válcového vodiče, přímého i vinutého šroubovitě, roste zároveň s rostoucím kmitočtem a rostoucí délkou vodiče, avšak se zmenšujícím se průměrem vodiče.
 

4. Podmínka pro maximální jakost v závislosti na x

Dosazením (5) do (1) dostaneme pro jakost jednovrstvové válcové cívky vzorec

Q = 2π f l / R √(π l / p ) √x K(x) . 10-7          (6)

kde l, p jsou udány v [m], f v [Hz], R v ohmech.
Protože chceme zjistit, jak závisí jakost cívky na jejích relativních rozměrech, můžeme za těchto podmínek pokládat průměr d a délku l drátu, rozteč závitů p a odpor R za konstanty, a to při určitém kmitočtu. Potom je jakost pouze
funkcí x = D / a  a můžeme říci, že je přímo úměrná výrazu

√x K (x)            (7)

Funkci K(x) můžeme v určitém intervalu aproximovat tímto způsobem:

K(x) = α + β x + γ x2         (8)

kde hodnoty koeficientů jsou
α = 0,9179, β = - 0,2628, γ = 0,0333     (9)
Jednoduchou matematickou úpravou pak získáme podmínku pro dosažení optimální hodnoty jakosti cívky, a to

x = D / a = 2,5            (10)

Pro tento poměr průměru a délky cívky nabývá jakost Q svého maxima při určité zvolené indukčnosti a kmitočtu. Vysvětlit se to dá také tím, že za těchto podmínek získáme danou indukčnost při minimální délce vinutého drátu.
Hodnota D = 2,5 a není kritická, takže prakticky můžeme D / a uvažovat v interva1u [2; 3,2], jak je vidět z diagramu č. 1.

Graf funkce sqrt(x) * K(x)

5. Závislost jakosti na p/d

Ze vzorce (6) je vidět, že jakost jednovrstvové válcové cívky závisí na velké řadě faktorů, které často působí proti sobě.
Základní protiklad je již v tom, jak získat maximální jakost při minimální vlastní kapacitě. Jakost cívky roste totiž teoreticky s průměrem drátu, ale tím roste i vlastní kapacita cívky. Proto je třeba stanovit si určitou hranici.
Vzorec (6) tedy ukazuje, že jakost cívky roste s průměrem drátu, protože odpor R je nepřímo úměrný průměru drátu. Teoreticky se dá také dále předpokládat podle (6), že se vzrůstající roztečí jakost cívky klesá a naopak.
Tyto dvě hodnoty (rozteč a průměr drátu) musíme uvažovat relativně, to znamená při vzájemném poměru p a d. Rozdíl mezi nimi je v tom, že při různé volbě d můžeme cívkám v určitých mezích zachovat tentýž tvar a tím i téměř stejnou indukčnost, ale při různé volbě p se mění i indukčnost cívky.
Bylo experimentálně zjištěno, že vztah (6), kde jakost Q je úměrná průměru d drátu při konstantní rozteči p, neodpovídá úplně skutečnosti, protože neuvažuje všechny okolnosti, jako je vliv vlastní kapacity cívky. Objevil se totiž pokles jakosti při zvětšování průměru drátu a konstantní rozteči. A tento pokles určuje právě hranici, do které je vhodné zvětšovat průměr d drátu vzhledem k rozteči p. Volíme tedy

2d = p          (11)

to znamená, že vzdálenost mezi závity je rovna průměru vinutého drátu. Zmenšení indukčnosti při zvětšování průměru drátu lze vysvětlit zvětšením vlastní kapacity cívky, která se při měření projeví jako zdánlivé zmenšení indukčnosti.
 

6. Určeni indukčnosti L při optimálních podmínkách

Při určení indukčnosti vyjdeme ze vztahu (5). Vyčíslíme-li funkci K(x) dosazením za x = D/a = 2,5 a hodnot z (9), dostaneme K(x) = 0,4694. Tuto hodnotu a dále výrazy (3) a 2d = p (11) dosadíme do vztahu (5) a tím získáme indukčnost ve tvaru

L = 4,66.10-5 D3 / d2 [µH],   (12)

kde D i d je v [mm].
Vztah (12), vyjádřený graficky v přiloženém diagramu č. 2, udává, jak je třeba volit rozměry cívky při určité zvolené indukčnosti a zvoleném průměru cívky, aby měla maximální jakost.

Graf závislosti indukčnosti optimální cívky na průměru cívky a tloušťce drátu.

Javaskript pro návrh optimální cívky

Zde si můžete vypočítat podle vzorce (12) počet závitů, tloušťku drátu a délku cívky, pokud znáte požadovanou indukčnost a průměr cívky.

µH
mm
mm
mm

7. Praktický příklad

Jak navrhnout cívku, která má při dané indukčnosti a daném průměru nejlepší jakost?
Je vyžadována cívka, která má indukčnost L = 3 µH a jejíž průměr D = 40 mm.
Z diagramu č. 2 určíme průměr drátu, to znamená d = 1 mm.
Z podmínky, že D / a = 2,5, zjistíme délku cívky a = 16 mm a z druhé podmínky 2 d = p určíme rozteč, v tomto případě p = 2 mm. Počet závitů cívky se dá vypočítat ze vzorce n = a / p = 8.
Dále se dá ještě téměř přesně vypočítat délka vinutého drátu ze vztahu
l = π D n = π . 40 . 8 = 1005 mm ≈ 1 m.
Všechny tyto hodnoty jsou plně postačující k určení tvaru a rozměru jednovrstvové válcové vzdušné cívky, vinuté neizolovaným drátem, která má při dané indukčnosti a dané geometrické velikosti maximální jakost.
 
 

Poznámky

*) Při tom musí platit, že l < λ / 4 , kde λ je vlnová délka procházejícího střídavého proudu.

Tento článek je převzat z Amatérského Radia č. 4/1959, str. 98. Do html podoby upravil Ing. Petr Jeníček.

Do dokumentu byl doplněn obsah, javaskript na výpočet, pozměněno formátování a sazba matematických vzorců při zachování významu. Do kapitoly 6 byl opsán výraz pro x a výraz (11), aby se v této kapitole, popisující výsledek výpočtů, orientoval i ten, kdo předchozí kapitoly nečetl.

Poslední změna tohoto dokumentu byla provedena dne 8.12.2009.

Zpět na obsah Jeníčkových radiotechnických stránek
Zpět na domovskou stránku Petra Jeníčka